Raciocício Lógico

RACIOCÍNIO LÓGICO

Proposição à toda oração declarativa que pode ser valorada em verdadeira ou falsa, mas não as duas.

à Deve possuir sentido completo, ou seja, deve possui sujeito (o termo a respeito do qual se declara alguma coisa) e predicado (o que se declara sobre o sujeito). Desta forma, expressões do tipo “Os alunos do Ponto dos Concursos.” não são consideradas proposições (pois não há predicado).

à Deve ser declarativa (não pode ser exclamativa, interrogativa, imperativa ou optativa).

Desta forma, as expressões abaixo não são consideradas proposições.

·         Que belo dia! (exclamativa)

·         Qual é o seu nome? (interrogativa)

·         Leia isto atenciosamente. (imperativa – indica ordem)

·         Que Deus te abençoe. (optativa – exprime desejo).

·         Um importante tipo de sentença que não é proposição é a chamada sentença aberta ou função proposicional. Exemplo: x+5 = 10

Proposição simples: é toda sentença fechada declarativa que exprime um pensamento que pode ser verdadeiro ou falso – Pelé é brasileiro.

Proposição composta: é aquela formada por duas ou mais proposições simples (mínimo de 2 verbos). Não confundir com sujeito composto.

Conectivos: (e) – (ou) – (então/somente se) – (se, e somente se).

Valor lógico: valor verdade ou valor falso.

Princípio do terceiro excluído e da não contradição: a proposição só poderá ser falsa ou verdadeira, e nunca as duas ao mesmo tempo.

TABELA-VERDADE

P	Q	PᴧQ Conjunção	P˅Q Disjunção	PàQ Condicional	P↔Q Bicondicional
V	V	V	V	V	V
V	F	F	V	F	F
F	V	F	V	V	F
F	F	F	F	V	V

Observação importante: quando se nega uma proposição, seus valores invertem. Veja a conclusão:

NEGAÇÃO DE UMA PROPOSIÇÃO
Conjunção				Conjunção
P	q	p^q		p	q	~(p^q)	~(p^q)
V	V	V		V	V	Se era V, passa a ser F	F
V	F	F		V	F	Se era F, passa a ser V	V
F	V	F		F	V	Se era F, passa a ser V	V
F	F	F		F	F	Se era F, passa a ser V	V

·   Tautologia: proposição sempre verdadeira, independente do valor lógico das proposições que a compõe.

·   Contradição: proposição sempre falsa, independente do valor lógicos das proposições que a compõe.

·   Contingência: é toda proposição que não é nem uma tautologia nem uma contradição.

p	q	Tautologia (p ^ q) → (p v q)	Contradição (~p^q) ^ p	Contingência P ^ ~q
V	V	(V) → (V) = V	(F) ^ (V) = F	(V) ^ (F) = F
V	F	(F) → (V) = V	(F) ^ (V) = F	(V) ^ (V) = V
F	V	(F) → (V) = V	(V) ^ (F) = F	(F) ^ (F) = F
F	F	(F) → (F) = V	(F) ^ (F) = F	(F) ^ (V) = F

Vale a pena lembrar que o número de linhas de uma tabela-verdade (valorações) composta de n proposições simples é igual a 2ⁿ. Como n=3, temos que o número de valorações possíveis para a proposição composta (P ^ Q) → R é igual a 2³=8.

Entenda que cada letra diferente significa uma proposição simples, não interessando quantas vezes aparece.

(p ^ q) → (p v q) = 2² = tabela-verdade com 4 linhas.

(p ^ q) → (p v r) = 2³ = tabela-verdade com 8 linhas.

Equivalência àAs seguintes proposições são logicamente verdadeiras: “se bebo, então não dirijo”

·         p →q

·         ~qà ~p: negue o antecedente e o consequente, troque a ordem e mantenha o conectivo “se..., então”. Se dirijo, então não bebo.

·         ~ p ∨ q : negue apenas o antecedente e troque o conectivo por “ou”. Não bebo ou não dirijo.

Questão da Cespe:

Se o Coelho Branco olhou o relógio, então Alice não perseguiu o Coelho Branco. (pàq)

Variações:

·         Alice perseguiu o relógio, então o Coelho Branco não olhou o relógio. (~ p ∨ q)

·         Alice não olhou o relógio ou o Coelho Branco não olhou o relógio. (~ p ∨ q)

Leis de Morgan

·         Primeira lei de De Morgan. Para negar uma proposição composta pelo conectivo “ou”, você deve negar as duas proposições simples que a compõe e TROCAR O CONECTIVO “OU” PELO “E”.

·         Segunda lei diz que para negar uma frase composta pelo conectivo “e”, devemos negar os dois componentes e trocar o conectivo pelo “ou”.

·         negar proposições compostas pelo “se..., então...”. Neste caso, basta afirmar o antecedente, negar o consequente e trocar o conectivo por “e”. Se bebo então dirijo. Negativa: bebo e dirijo.

·         Expressões com quantificadores:

AFIRMAÇÃO	NEGAÇÃO
Particular afirmativa “algum”	Universal negativa nenhum.../todo...não
Universal negativa nenhum.../todo...não	Particular afirmativa “algum”
Universal afirmativa “todo”	Particular afirmativa “algum”
Particular negativa “algum...não”	Universal afirmativa “todo”